Як вирішувати магічні квадрати?

МИ У СОЦМЕРЕЖАХ -

Магічним квадратом прийнято називати головоломку на кшталт судоку. Це квадрат, клітини якого заповнені числами так, щоб сума в кінці будь-якого рядка, стовпця і діагоналі була однаковою. У магічних квадратах-головоломках деякі числа пропущені, і потрібно їх розставити так, щоб дотримати описане вище умова рівної суми. Як же вирішувати магічні квадрати?

Способи вирішення магічних квадратів

Для того щоб рішення магічних квадратів було вірним, необхідно знати ту саму чарівну суму, яка повинна виходити при додаванні чисел в рядках, стовпчиках і діагоналях. Після цього розставити відсутні числа стає значно простіше. Як же цю суму знайти?

спосіб 1

Найпростіший варіант магічного квадрата - коли одна з рядків, один із стовпців або одна з діагоналей повністю заповнена числами. В такому випадку залишається тільки підрахувати суму цих чисел і підбирати рішення.

спосіб 2

Суму чисел на кінцях рядків, стовпців і діагоналей можна вирахувати за спеціальними формулами. При цьому формула для квадратів з парною кількістю осередків в одному рядку буде відрізнятися від квадратів з непарною кількістю осередків.

Отже, для парних квадратів підходить формула:

n + ((n + 1) * n * (n-1) / 2), де n - кількість осередків в одному рядку.

Для непарних квадратів підходить формула:

n * (n² +1) / 2, де n - також кількість осередків в одному рядку.

приклад рішення

Розглянемо рішення магічного квадрата з дев`яти осередків з числами від 1 до 9. Спочатку підрахуємо суму, яка повинна виходити на кінцях. В одному рядку у нас 3 осередки, тобто n = 3. Підставляємо значення в формулу:

3 * (3² +1) / 2 = 3 * 10/2 = 15

Тепер підбираємо числа так, щоб сума дорівнювала 15.

Далі алгоритм зажадає трохи просторової уяви. Поставте число 1 в середину верхнього рядка. Кожне наступне число ми ставимо справа по діагоналі вгору. Пробуємо ставити 2. Але там немає осередків, якщо ми підставимо над нашим квадратом ще один такий же уявний, то число 2 виявиться в правому нижньому кутку цього магічний квадрат нового квадрата. Переносимо її в наш квадрат і ставимо в правому нижньому кутку. Число 3 також ставимо справа по діагоналі вгору - і там знову немає осередку, за допомогою уявного квадрата дізнаємося, що його місце в середині лівого стовпчика. Число 4 ставимо за таким же принципом, але ця комірка зайнята одиницею - в цьому випадку ставимо її прямо під цифрою 3. Число 5 по діагоналі вгору і вправо від 4 виявляється в самому центрі, а число 6 у верхньому правому куті. Число 7 за допомогою уяви мало бути в лівому нижньому кутку. Але там вже стоїть 4, тому ставимо її прямо під числом 6. Число 8 виявляється за допомогою уявного квадрату в лівому верхньому кутку, а число 9 в залишилася осередку в середині правого стовпчика. Загальний алгоритм такий: ставимо наступне число справа вгорі по діагоналі, якщо немає місця - застосовуємо уявний квадрат, а якщо осередок зайнята, то ставимо число прямо під попереднім.