Як знайти висоту конуса?

Конус - це загострена фігура, в основі якої знаходиться коло. Зовні він нагадує ковпак. Висотою називають перпендикуляр, опущений з вершини на підставу конуса. Лінія, що з`єднує вершину конуса з основою і проведена перпендикулярно до площини підстави, називається твірною.

Знаходимо висоту конуса: алгоритм рішення

Якщо задачі питається, як знайти висоту конуса, нам допоможуть властивості прямокутного трикутника:

Теорема Піфагора (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів).
Залежність величини кутів від катетів і гіпотенузи: синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузе- косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Алгоритм рішення задач про висоту конуса наступний:

Накреслити конус, провести висоту, позначити всі відомі дані.
Знайти прямокутний трикутник, утворений висотою і даними в задачі відрізками і кутами. Якщо відразу не виходить, зробити додаткові побудови.
Застосовуючи формули для прямокутного трикутника, знайти висоту.

Як знайти висоту конуса: приклади

Знаходимо висоту прямого конуса

Якщо перпендикуляр, опущений з вершини конуса на його підставу, потрапляє в центр кола, конус називається прямим. Отже, ми маємо конус з котра утворює l = 16. Кут між твірною і підставою дорівнює 30 °. приклад

Креслимо прямий конус, висоту, утворить.
З`єднуємо центр на підставі кінець висоти і утворює радіусом. Висота h і радіус підстави - катети прямокутного трикутника, утворює - гіпотенуза.
Синус кута між гіпотенузою-утворює і катетом-радіусом підстави sin 30 ° = frac12-. Це відношення протилежного катета - висоти h - і гіпотенузи:
sin 30 ° = h / l = ½
h = sin 30 ° * l = frac12- * 16 = 8.

Як знайти висоту усіченого конуса

Усічений конус виходить, якщо у звичайного конуса зрізати вершину. Візьмемо прямий усічений конус. Діаметр верхнього підстави d = 2, діаметр нижньої основи D = 4, утворює l = 4. Потрібно знайти висоту конуса h, тобто відстань між двома приклад 2 підставами.

Креслимо усічений конус. Вертикальне перетин усіченого конуса - рівнобедрена трапеція, і вирішувати задачу треба, як задачу про трапеції.
Подивимося трикутник з висоти, котра утворює і відрізка діаметра а, який являє собою різницю між нижнім і верхнім діаметром, поділену на два: а = (D - d) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1.
Відрізок діаметра - катет, висота h - другий катет - дорівнює кореню з різниці квадратів гіпотенузи і катета (теорема Піфагора):
h = radic- (lsup2- - asup2-) = radic- (4sup2- - 1sup2-) = radic-15.
Відповідь: h = radic-15.

Як знаходити висоту довільного конуса

Припустимо, у нас є довільний конус з основою у вигляді кола. Вершина конуса виходить за межі підстави. Вертикальне перетин, що проходить через вершину і діаметр основи, являє собою тупоугольние трикутник: дві що утворюють l1 = 8 і l2 = 3 і діаметр D = 5. Висота h, опущена з вершини, потрапляє на продовження діаметра. Потрібно знайти висоту h.

Відстань від вершини тупого кута до точки перетину продовження діаметра з висотою позначимо х. Отримуємо два прямокутних трикутника:

утворює l1 - діаметр плюс відрізок х - висота
утворює l2 - відрізок х - висота.

Записуємо, чому дорівнює висота по теоремі Піфагора:

hsup2- = l1sup2- - (D + x) sup2- (1)
hsup2- = l2sup2- - xsup2- (2)

Отримуємо систему двох рівнянь, причому праві частини цих рівнянь рівні hsup2- та є рівними між собою:

l1sup2- - (D + x) sup2- = l2sup2- - x²

Розкриваємо дужки:

l1sup2- - Dsup2- - 2 D х - xsup2- = l2sup2- - x²

Скорочуємо xsup2-:

l1sup2- - Dsup2- - 2 D х = l2²
2D х = l2sup2- - l1sup2- + D²
х = (l2sup2- - l1sup2- + Dsup2 -) / 2D = (8sup2- - 5sup2- - 3sup2 -) / 2 * 5 = (64 - 25 - 9) / 10 = 3.

Підставляємо х в вираз (2), знаходимо h: