Як знайти площу фігури?

Знати і вміти розраховувати площі різних фігур необхідно не тільки для вирішення простих геометричних задач. Не обійтися без цих знань і при складанні або перевірці кошторисів на ремонт приміщень, розрахунку кількості необхідних витратних матеріалів. Тому давайте розберемося, як знаходити площі різних фігур.

Площа

Частина площини, що міститься усередині замкнутого контуру, називається площею цій площині. Виражається площа кількістю укладених в ній квадратних одиниць.

Щоб обчислити площу основних геометричних фігур, необхідно використовувати правильну формулу.

Площа трикутника

позначення:

S - шукана площа,
a, b, c - довжини сторін трикутника,
h - висота шуканого трикутника,
gamma- - кут, що знаходиться між стороною a і стороною b,
r - радіус кола (вписаною в трикутник),
R - радіус кола (описаної навколо трикутника),
p - половина периметра трикутника.

Якщо відомі h, a, то площа шуканого трикутника визначається як добуток довжин боку і висоти трикутника, опущеною до цієї стороні, розділене навпіл: S = (amiddot-h) / 2
Якщо відомі a, b, c, то шукана площа розраховується за формулою Герона: корінь квадратний, взятий з твору половини периметра трикутника і трьох різниць половини периметра і кожної сторони трикутника: S = radic- (pmiddot- (p - a) middot- (p - b) middot- (p - c)).
Якщо відомі a, b, gamma-, то площа трикутника визначається як половина твори 2-х сторін, помножена на значення синуса кута між цими сторонами: S = (amiddot-bmiddot-sin gamma -) / 2
Якщо відомі a, b, c, R, то шукана площа визначається як поділ праці довжин всіх сторін трикутника на чотири радіусу описаного кола: S = (amiddot-bmiddot-c) / 4R
Якщо відомі p, r, то шукана площа трикутника визначається множенням половини периметра на радіус вписаного в нього кола: S = pmiddot-r

Площа квадрата

позначення:

S - шукана площа,
a - довжина сторони,
d - довжина діагоналі.

Якщо відома сторона, то площа цієї фігури визначається як квадрат довжини його сторони: S = a²
Якщо відома d, то площа квадрата визначається як половина квадрата довжини його діагоналі: S = d²/ 2

Площа прямокутника

позначення:

S - обумовлена площа,
a, b - довжини сторін прямокутника.

Якщо відомі a, b, то площа даного прямокутника визначається твором довжин двох його сторін: S = amiddot-b
Якщо довжини сторін невідомі, то площа прямокутника потрібно розбити на трикутники. У цьому випадку площа прямокутника визначається як сума площ складових його трикутників.

Площа паралелограма

позначення:

S - шукана площа,
a, b - довжини сторін,
h - довжина висоти даного паралелограма,
d1, d2 - довжини двох діагоналей,
alpha- - кут, що знаходиться між сторонами,
gamma- - кут, що знаходиться між діагоналями.

Якщо відомі a, h, то шукана площа визначається перемножением довжин боку і висоти, опущеної на цю сторону: S = amiddot-h
Якщо відомі a, b, alpha-, то площа паралелограма визначається перемножением довжин сторін паралелограма і значення синуса кута між цими сторонами: S = amiddot-bmiddot-sin α
Якщо відомі d₁, d₂, gamma- то площа паралелограма визначається як половина твори довжин діагоналей і значення синуса кута між цими діагоналями: S = (d₁middot-d₂middot-singamma -) / 2

Площа ромба

позначення:

S - шукана площа,
a - довжина сторони,
h - довжина висоти,
alpha- - менший кут між двома сторонами,
d1, d2 - довжини двох діагоналей.

Якщо відомі a, h, то площа ромба визначається множенням довжини сторони на довжину висоти, яка опущена на цю сторону: S = amiddot-h
Якщо відомі a, alpha-, то площа ромба визначається перемножением квадрата довжини сторони на синус кута між сторонами: S = a²middot-sin α
Якщо відомі d₁ і d₂, то шукана площа визначається як половина твори довжин діагоналей ромба: S = (d₁middot-d₂) / 2

Площа трапеції

позначення:

S - шукана площа,
a, b - довжини 2-х підстав трапеції,
c, d - довжини лівої і правої сторін трапеції,
h - висота трапеції,

Якщо відомі a, b, c, d, то шукана площа визначається за формулою: S = (a + b) / 2 * radic- [c²- (((B-a)²+c²-d²) / (2 (b-a))²].
При відомих a, b, h, шукана площа визначається як добуток половини суми підстав і висоти трапеції: S = (a + b) / 2middot-h

Площа опуклого чотирикутника

позначення:

S - шукана площа,
d₁, d₂ - довжини діагоналей даного чотирикутника,
alpha- - кут між діагоналями,
p = (a + b + c + d) / 2 - половина периметра опуклого чотирикутника,
a і b, c і d - довжини кожної зі сторін опуклого чотирикутника,
theta - = (alpha- + beta -) / 2 - половина суми двох протилежних кутів опуклого чотирикутника,
r - радіус кола, вписаного в опуклий чотирикутник.

Якщо відомі d₁, d₂, alpha-, то площа опуклого чотирикутника визначається як половина твори діагоналей чотирикутника, помножена на величину синуса кута між цими діагоналями: S = (d₁middot- d ₂middot-sin alpha -) / 2
При відомих p, r площа опуклого чотирикутника визначається як добуток напівпериметр чотирикутника на радіус кола, вписаного в цей чотирикутник: S = pmiddot-r
Якщо відомі a, b, c, d, theta-, то площа опуклого чотирикутника визначається як корінь квадратний з творів різниці напівпериметр і довжини кожної сторони за мінусом твори довжин всіх сторін і квадрата косинуса половини суми двох протилежних кутів: S² = (P - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcdmiddot-cos²((Alpha- + beta -) / 2)

Площа кола

позначення:

S - шукана площа,
r - довжина радіуса,
d - довжина діаметра.

Якщо відомий r, то шукана площа визначається як добуток числа pi- на радіус в квадраті: S = pi- r²

Якщо відома d, то площа кола визначається як добуток числа pi- на квадрат діаметра, поділене на чотири: S = (pi-middot-d²) / 4

Площа складної фігури

Складну можна розбити на прості геометричні фігури. Площа складної фігури визначається як сума або різниця складових площ. Розглянемо, наприклад, кільце.

позначення:

S - площа кільця,
R, r - радіуси зовнішньої окружності і внутрішньої відповідно,
D, d - діаметри зовнішньої окружності і внутрішньої відповідно.

Для того щоб знайти площу кільця, треба з площі більшого кола відняти площу Площа меншого кола. S = S1-S2 = pi-R²-pi-r²= pi- (R²-r²).

Таким чином, якщо відомі R і r, то площа кільця визначається як різниця квадратів радіусів зовнішньої і внутрішньої кіл, помножена на число пі: S = pi- (R²-r²).

Якщо відомі D і d, то площа кільця визначається як чверть різниці квадратів діаметрів зовнішньої і внутрішньої кіл, помножена на число пі: S = (1/4) (D²-d²) pi-.

Площа зафарбованою фігури

Припустимо, що всередині одного квадрата (А) знаходиться інший (Б) (меншого розміру), і нам потрібно знайти зафарбовані порожнину між фігурами "А" і "Б". Скажімо так, "рамку" маленького квадрата. Для цього:

Знаходимо площа фігури "А" (обчислюється за формулою знаходження площі квадрата).
Аналогічним чином знаходимо площа фігури "Б".
Віднімаємо з площі "А" площа "Б". І таким чином отримуємо площа зафарбованою фігури.

Тепер ви знаєте, як знаходити площі різних фігур.