Як знайти кутовий коефіцієнт?
В математиці одним з параметрів, що описують стан прямої на декартовій площині координат, є кутовий коефіцієнт цієї прямої. Цей параметр характеризує нахил прямої до осі абцісс. Щоб зрозуміти, як знайти кутовий коефіцієнт, спочатку згадаємо загальний вигляд рівняння прямої в системі координат XY.
У загальному вигляді будь-яку пряму можна представити виразом ax + by = c, де a, b і c - довільні дійсні числа, але обов`язково a2 + b2 0.
Подібне рівняння за допомогою нескладних перетворень можна довести до виду y = kx + d, в якому k і d - дійсні числа. Число k є кутовим коефіцієнтом, а саме рівняння прямої подібного виду називається рівнянням з кутовим коефіцієнтом. Виходить, що для знаходження кутового коефіцієнта, необхідно просто привести вихідне рівняння до зазначеного вище виду. Для більш повного розуміння розглянемо конкретний приклад:
Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 36x - 18y = 108
Рішення: Перетворимо вихідне рівняння.
36x - 18y = 108
18y = 36x - 108
y = 2x - 6
Відповідь: Бажаємий кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює 2.
У разі, якщо в ході перетворень рівняння ми отримали вираз типу x = const і не можемо в результаті представити y в вигляді функції x, то ми маємо справу з прямою, паралельною осі Х. Кутовий коефіцієнт подібної прямий дорівнює нескінченності.
Для прямих, яких виражені рівнянням типу y = const, кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Це характерно для прямих, паралельних осі абцісс. наприклад:
Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, заданої рівнянням 24x + 12y - 4 (3y + 7) = 4
Рішення: Наведемо вихідне рівняння до загального вигляду
24x + 12y - 12y + 28 = 4
24x = 28 - 4
x = -1
З отриманого виразу висловити y неможливо, отже кутовий коефіцієнт даної прямої дорівнює нескінченності, а сама пряма буде паралельна осі Y.
геометричний сенс
Для кращого розуміння звернемося до картинки:
На малюнку ми бачимо графік функції типу y = kx. Для спрощення приймемо коефіцієнт з = 0. У трикутнику ОАВ відношення боку ВА до АТ дорівнюватиме кутовому коефіцієнту k. Разом з тим відношення ВА / АТ - це тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику ОАВ. Виходить, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута, який становить ця пряма з віссю абцісс координатної сітки.
Вирішуючи завдання, як знайти кутовий коефіцієнт прямої, ми знаходимо тангенс кута між нею і віссю Х сітки координат. Граничні випадки, коли розглянута пряма паралельна осях координат, підтверджують вишенаписанное. Дійсно для прямої, описаної рівнянням y = const, кут між нею і віссю абцісс дорівнює нулю. Тангенс нульового кута також дорівнює нулю і кутовий коефіцієнт теж дорівнює нулю.
Для прямих, перпендикулярних осі абцісс і описуваних рівнянням х = const, кут між ними і віссю Х дорівнює 90 градусів. Тангенс прямого кута дорівнює нескінченності, так само і кутовий коефіцієнт подібних прямих дорівнює нескінченності, що підтверджує написане вище.
Кутовий коефіцієнт дотичної
Поширеною, часто зустрічається на практиці, завданням є також знаходження кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції в деякій точці. Дотична - це пряма, отже до неї також може бути застосовано поняття кутового коефіцієнта.
Щоб розібратися, як знайти кутовий коефіцієнт дотичної, нам буде необхідно згадати поняття похідної. Похідна від будь-якої функції в деякій точці - це константа, чисельно рівна тангенсу кута, який утворюється між дотичній в зазначеній точці до графіка цієї функції і віссю абцісс. Виходить, що для визначення кутового коефіцієнта дотичної в точці x0, нам необхідно розрахувати значення похідної вихідної функції в цій точці k = f `(x0). Розглянемо на прикладі:
Завдання: Знайти кутовий коефіцієнт лінії, дотичної до функції y = 12x2 + 2xex при х = 0,1.
Рішення: Знайдемо похідну від вихідної функції в загальному вигляді
y `= 24x + 2xex + 2ex , далі в отриманий вираз підставимо значення х;
y `(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e0,1 + 2 .e0,1
y `(0,1) = 4,831
Відповідь: Бажаємий кутовий коефіцієнт в точці х = 0,1 дорівнює 4,831
