Як знайти синус?

Вивчення геометрії допомагає розвивати мислення. Цей предмет обов`язково входить в шкільну підготовку. У життєдіяльності знання цього предмета може стати в нагоді - наприклад, при плануванні квартири.

З історії

В рамках курсу геометрії вивчається також тригонометрія, яка досліджує тригонометричні функції. У тригонометрії ми вивчаємо синуси, косинуси, тангенси і котангенс кута.

Але на даний момент почнемо з найпростішого - синуса. Давайте розглянемо більш детально найперше поняття - синус кута в геометрії. Що таке синус і як його знайти?

Поняття «синус кута» і синусоїди

Синус кута - це співвідношення значень протилежного катета і гіпотенузи прямокутного трикутника. Це пряма тригонометрическая функція, яка на письмі позначається як «sin (x)», де (х) - кут трикутника.

На графіку синус кута позначається синусоїдою зі своїми особливостями. Синусоїда виглядає як безперервна хвилеподібна лінія, яка лежить в певних рамках на площині координат. Функція непарна, тому симетрична відносно 0 на площині координат (виходить з початку відліку координат).

Область визначення цієї функції лежить в діапазоні від -1 до +1 на декартовій системі координат. Період функції синус кута становить 2 Пі. Це означає, що кожні 2 Пі малюнок повторюється, і синусоїда проходить повний цикл.

рівняння синусоїди

• sin х = a / c
• де а - протилежні до кута трикутника катет
• с - гіпотенуза прямокутного трикутника

Властивості синуса кута

1. sin (x) = - sin (x). Ця особливість демонструє, що функція симетрична, і якщо відкласти на системі координат в обидві сторони значення х і (х), то ординати цих точок будуть протилежними. Вони будуть знаходитися на рівній відстані один від одного.
2. Ще однією особливістю цієї функції є те, що графік функції зростає на відрізку [- П / 2 + 2 Пn] - [П / 2 + 2Пn], де n - будь-яке ціле число. Зменшення графіка синуса кута буде спостерігатися на відрізку: [П / 2 + 2 Пn] - [3П / 2 + 2Пn].
3. sin (x)> 0, коли х лежить в діапазоні (2Пn, П + 2Пn)
4. (X) lt; 0, коли х знаходиться в діапазоні (П + 2Пn, 2Пn)

Значення синусів кута визначаються за спеціальними таблицями. Створені такі таблиці для полегшення процесу підрахунку складних формул і рівнянь. Вона легка у використанні і містить значення не тільки функції sin (x), але також і значення інших функцій.

Більш того, таблиця стандартних значень цих функцій включена до обов`язкового вивчення напам`ять, як таблиця множення. Особливо це актуально для класів з фізико-математичним ухилом. У таблиці можна побачити значення основних використовуваних в тригонометрії кутів: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 і 360 градусів.

Також існує таблиця, яка визначає значення тригонометричних функцій нестандартних кутів. Користуючись різними таблицями, можна без праці обчислити синус, косинус, тангенс і котангенс деяких кутів.

З тригонометричними функціями складаються рівняння. Вирішувати ці рівняння легко, якщо знати прості тригонометричні тотожності та приведення функцій, наприклад, такі, як sin (П / 2 + х) = cos (x) та інші. Для таких привидів також складена окрема таблиця.

Як знайти синус кута

Коли стоїть завдання знайти синус кута, а за умовою у нас є тільки косинус, тангенс, або котангенс кута, ми легко можемо обчислити потрібне за допомогою тригонометричних тотожностей.

• sin²x + cos²x = 1

Виходячи з цього рівняння, ми можемо знайти як синус, так і косинус, в залежності від того, яке значення невідомо. У нас вийде тригонометрическое рівняння з одним невідомим:

• sin²x = 1 - cos²x
• sin x = ± radic- 1 - cos²x
• ctg²x + 1 = 1 / sin²x

З цього рівняння можна знайти значення синуса, знаючи значення котангенса кута. Для спрощення замініть sin²x = у, і тоді у вас вийде просте рівняння. Наприклад, значення котангенса дорівнює 1, тоді:

• 1 + 1 = 1 / у
• 2 = 1 / у
• 2у = 1
• у = 1/2

Тепер виконуємо зворотний заміну Ігрека:

• sin²x = ½
• sin x = 1 / radic-2

Оскільки ми взяли значення котангенса для стандартного кута (45⁰), Отримані значення можна перевірити по таблиці.

Якщо у вас дано значення тангенса, а потрібно знайти синус, допоможе ще одне тригонометричну тотожність:

• tg x * ctg x = 1

З цього виходить що:

• ctg x = 1 / tg x

Для того щоб знайти синус нестандартного кута, наприклад, 240⁰, необхідно скористатися формулами приведення кутів. Ми знаємо, що pi- у нас відповідає 180⁰. Таким чином, ми висловимо наше рівність за допомогою стандартних кутів шляхом розкладання.

• 240⁰ = 180⁰ + 60⁰

Нам необхідно знайти наступне: sin (180⁰ + 60⁰). У тригонометрії є формули приведення, які в даному випадку стануть в нагоді. Це формула:

• sin (pi- + х) = - sin (х)

Таким чином, синус кута 240 градусів дорівнює:

• sin (180⁰ + 60⁰) = - Sin (60⁰) = - radic-3/2

У нашому випадку, х = 60, а П, відповідно, 180 градусам. Значення (-radic-3/2) ми знайшли по таблиці значень функцій стандартних кутів.

Таким чином можна розкласти нестандартні кути, наприклад: 210 = 180 + 30.

У підручниках і інтернеті можна зустріти безліч формул для розрахунку тригонометричних рівнянь - віднімання, додавання, множення і ділення тригонометричних функцій різних кутів один на одного, піднесення в ступеня і перетворення однієї функції в іншу за допомогою простих тотожностей і багато інших операцій.

Додаткову інформацію щодо синусів і косинусів можна отримати в статтях:

• Що таке синус
• Як знайти синус, якщо відомий косинус

Статті за темою "Як знайти синус?"

Як знайти градусну міру кута?

Як знайти найменше значення функції?

Як знайти синус, якщо відомий косинус?

Як знайти кутовий коефіцієнт?