Як вирішувати біквадратне рівняння?

Як вирішувати біквадратне рівняння?

Перш ніж приступити до вирішення біквадратних рівняння, варто розібратися, як воно виглядає і чим відрізняється від класичного квадратного рівняння. Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0 називається біквадратним з однією змінною (алгебраїчне рівняння четвертого ступеня). Щоб привести рівняння до квадратного виду і вирішити через дискримінант, необхідно скористатися заміною змінної:

  • т.е .: x2 = t

І тоді ми маємо стандартне рівняння виду at2 + bt + c = 0

Дискримінант розраховуємо за формулою D = b2 - 4ac.

  1. У разі, коли D = 0, рівняння має один єдиний корінь t1 = -b / 2a, і звідси отримуємо дані рішення нашого рівняння x = sqrt (t1).
  2. Якщо D> 0, рівняння має два кореня t1 = (-b + Sqrt (D)) / 2a і t2 = (-b - Sqrt (D)) / 2a. Не забуваємо про запроваджену змінної, і отримуємо кінцеве рішення x1,2 = Sqrt (t1) І x3,4 = Sqrt (t2)

Важливе зауваження: якщо будь-яка з значень ti lt; 0, то при D = 0 початкове біквадратне рішення не має дійсних коренів, а при D> 0 - максимум один єдиний дійсний корінь.

За допомогою теореми Вієта



Корисно знати: в разі, коли ми маємо наведене квадратне рівняння (коефіцієнт при t2 = 1), може бути застосована теорема Вієта, і пошук рішення зводиться до мінімуму дій:

  • t1 + t2 = -b
  • t1 * t2 = c

Розглянемо приклад:

  • x4 - 3x2 + 2 = 0

використовуючи заміну змінної x2 = T, наводимо квадратне рівняння до виду t2 - 3t- + 2 = 0.

  • D = (-3)2 - 4 * 1 * 2 = 1.

Коріння квадратного рівняння t1 = 2, t2 = 1.

З огляду на введену заміну змінної, отримуємо рішення шуканого біквадратних рівняння: t1 = Sqrt (2) - t2 = -sqrt (2) - t3 = 1 t4 = -1.

До даного завдання можна застосувати теорему Вієта, оскільки коефіцієнт при змінної зі старшою ступенем дорівнює 1:

  • t1 + t2 = 3
  • t1 * t2 = 2

Звідси t1 = 2, t2 = 1. Як ми бачимо, коріння квадратного рівняння в обох випадках збігаються, а значить, рішення біквадратних рівняння буде таким же.

У даній статті ми розглянули окремий випадок рішення біквадратних рівняння, яке вирішується не складніше класичного квадратного рівняння.



Оцініть, будь ласка статтю
Всього голосів: 184