Як вирішувати біквадратне рівняння?
Перш ніж приступити до вирішення біквадратних рівняння, варто розібратися, як воно виглядає і чим відрізняється від класичного квадратного рівняння. Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0 називається біквадратним з однією змінною (алгебраїчне рівняння четвертого ступеня). Щоб привести рівняння до квадратного виду і вирішити через дискримінант, необхідно скористатися заміною змінної:
- т.е .: x2 = t
І тоді ми маємо стандартне рівняння виду at2 + bt + c = 0
Дискримінант розраховуємо за формулою D = b2 - 4ac.
- У разі, коли D = 0, рівняння має один єдиний корінь t1 = -b / 2a, і звідси отримуємо дані рішення нашого рівняння x = sqrt (t1).
- Якщо D> 0, рівняння має два кореня t1 = (-b + Sqrt (D)) / 2a і t2 = (-b - Sqrt (D)) / 2a. Не забуваємо про запроваджену змінної, і отримуємо кінцеве рішення x1,2 = Sqrt (t1) І x3,4 = Sqrt (t2)
Важливе зауваження: якщо будь-яка з значень ti lt; 0, то при D = 0 початкове біквадратне рішення не має дійсних коренів, а при D> 0 - максимум один єдиний дійсний корінь.
За допомогою теореми Вієта
Корисно знати: в разі, коли ми маємо наведене квадратне рівняння (коефіцієнт при t2 = 1), може бути застосована теорема Вієта, і пошук рішення зводиться до мінімуму дій:
- t1 + t2 = -b
- t1 * t2 = c
Розглянемо приклад:
- x4 - 3x2 + 2 = 0
використовуючи заміну змінної x2 = T, наводимо квадратне рівняння до виду t2 - 3t- + 2 = 0.
- D = (-3)2 - 4 * 1 * 2 = 1.
Коріння квадратного рівняння t1 = 2, t2 = 1.
З огляду на введену заміну змінної, отримуємо рішення шуканого біквадратних рівняння: t1 = Sqrt (2) - t2 = -sqrt (2) - t3 = 1 t4 = -1.
До даного завдання можна застосувати теорему Вієта, оскільки коефіцієнт при змінної зі старшою ступенем дорівнює 1:
- t1 + t2 = 3
- t1 * t2 = 2
Звідси t1 = 2, t2 = 1. Як ми бачимо, коріння квадратного рівняння в обох випадках збігаються, а значить, рішення біквадратних рівняння буде таким же.
У даній статті ми розглянули окремий випадок рішення біквадратних рівняння, яке вирішується не складніше класичного квадратного рівняння.
