Як вирішити квадратне рівняння
Повний квадратне рівняння вирішується шляхом знаходження його дискримінанту.
Нагадаємо, що повним квадратним рівнянням називають рівняння виду rx2+ wx + h = 0, де r, w, h - коефіцієнти квадратного рівняння: деякі числа, не рівні нулю, а x - змінна (невідоме).
Як вирішити квадратне рівняння через дискримінант
Обчисліть дискримінант (D) квадратного рівняння. Щоб обчислити дискримінант, потрібно відняти добуток коефіцієнтів r і h на 4 з другого коефіцієнта w, зведеного в другу ступінь.
D = w2- 4rh
Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння менше нуля (D lt; 0), значить дане рівняння не має коренів, а значить не має і рішення.
Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння дорівнює нулю (D = 0), значить рівняння має тільки один корінь. щоб обчислити цей корінь потрібно поділити коефіцієнт квадратного рівняння w зі знаком мінус на подвоєний коефіцієнт r.
Так виглядає формула для знаходження єдиного кореня:
x = -w / 2r
Якщо отриманий дискриминант квадратного рівняння більше нуля (D> 0), значить до рівняння підходять два кореня.
Щоб знайти перший корінь квадратного рівняння x1,необхідно додати квадратний корінь з дискриминанта до коефіцієнта w зі знаком мінус, і отриманий результат поділити на подвоєний коефіцієнт r.
Щоб знайти другий корінь рівняння x2, необхідно відняти квадратний корінь з дискриминанта з коефіцієнта w зі знаком мінус, і отриманий результат поділити на подвоєний коефіцієнт r.
Якщо повне квадратне рівняння виду rx2+ wx + h = 0 є наведеними, тобто коефіцієнт, що стоїть поруч з невідомої в другому ступені, дорівнює одиниці (r = 1), то його можливо вирішити за формулою теореми Вієта.
Як вирішити наведене квадратне рівняння використовуючи формулу теореми Вієта
Теорема Вієта звучить наступним чином: сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, тільки з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Тобто якщо рівняння виду rx2+ wx + h = 0 має дійсні корені, то
- x1 + x2 = -w
- x1 * x2 = h
За цими формулами можна спробувати вгадати коріння рівняння. Для цього потрібно розкласти вільний член h на два множники, сума яких дорівнювала б коефіцієнту w з протилежним знаком.
наприклад
Візьмемо наведене рівняння x2- 8x + 12 = 0
Ми знаємо, що:
- x1 + x2 = 8
- x1 * x2 = 12
Нам потрібно розкласти 12 на такі два множники, які в сумі дадуть 8. Очевидно, що такими множителями є 6 і 2.
дійсно:
- 6 * 2 = 12
- 6 + 2 = 8
Звідси випливає, що числа 6 і 2 є вірними корінням для наведеного квадратного рівняння. Такі очевидні рішення швидко приходять на розум при роботі з простими цілими коефіцієнтами квадратного рівняння. тому теорема Вієта часто застосовується для підбору коренів квадратних рівнянь, що значно економить час при їх вирішенні.
