Як знаходити межі?
Існує в математиці таке поняття, як межа функції. Щоб розуміти, як знаходити межі, потрібно пам`ятати визначення границі функції: функція f (x) має межу L в точці x = a, якщо для кожної послідовності значень х, сходящейся до точки a, послідовність значень у наближається до:
- L lim f (x) = L
- х-a
Поняття і властивості меж
Що таке межа, можна зрозуміти з прикладу. Припустимо, ми маємо функцію у = 1 / х. Якщо ми будемо послідовно збільшувати значення х і дивитися, чому дорівнює у, то отримаємо все дедалі менші значення: при х = 10000 у = 1/10000 при х = 1000000 у = 1/1000000. Тобто чим більше х, тим менше у. Якщо х = infin-, у буде настільки малий, що його можна буде вважати рівним 0. Таким чином, межа функції у = 1 / х при х прагне до infin- дорівнює 0. Записується це так:
- lim1 / г = 0
- х-∞
Межа функції має кілька властивостей, які потрібно пам`ятати: це істотно полегшить вирішення завдань на знаходження меж:
- Межа суми дорівнює сумі меж: lim (x + y) = lim x + lim y
- Межа твори дорівнює добутку меж: lim (xy) = lim x * lim y
- Межа приватного дорівнює приватному від меж: lim (x / y) = lim x / lim y
- Постійний множник виносять за знак межі: lim (Cx) = C lim x
У функції у = 1 / x, в якій x -infin-, межа дорівнює нулю, при x-0, межа дорівнює infin-.
- lim (sin x) / x = 1 x-0
у статті Як вирішувати межі детально розповідається методика рішення таких задач. А ми розглянемо кілька прикладів.
Рішення прикладів на межі
Починати знаходити межі функцій треба завжди з підстановки в функцію того значення х, до якого він прагне.
приклад 1
- Lim (х-3) = lim (3-3) = 0
- х-3
приклад 2
- Lim [хsup2 - / (1-х)]. Якщо підставити х = infin-, отримаємо
- х-∞
- infin-sup2 - / (1-infin-) = infin-sup2 - / (- infin-).
Одну нескінченність в чисельнику і знаменнику скорочуємо:
- infin - / (- 1) = -infin-. значить,
- Lim [хsup2 - / (1-х)] = -infin-.
- х-∞
У цих прикладах все просто. Однак зазвичай межі функцій шукають при таких значеннях х, які створюють невизначеність типу 0/0 або infin- / infin-. Такі невизначеності потрібно розкривати.
приклад 3
- Lim [(2хsup2- - 3х - 5) / (1 + х + 3хsup2-)]
- х-∞
Підставляємо х = infin- і отримуємо в чисельнику і знаменнику нескінченність, і там, і там в квадраті. Значить, вийшла невизначеність типу infin- / infin-.
Спробуємо спочатку розділити обидві частини дробу на старшу ступінь - хsup2-:
- Lim {[(2хsup2- - 3х - 5) / xsup2 -] / [(1 + х + 3хsup2 -) / xsup2-]} =
- х-∞
- = Lim {[(2хsup2- / xsup2-) - (3х / xsup2-) - (5 / xsup2 -)] / [(1 / xsup2-) + (х / xsup2-) + (3хsup2- / xsup2-)] } =
- х-∞
- Lim {[2 - (3 / x) - (5 / xsup2 -)] / [(1 / xsup2-) + (1 / x) + 3]}
- х-∞
- При х = infin- 3 / х = 0 5 / хsup2- = 0- 1 / xsup2- = 0- 1 / x = 0.
Значить, з усією страшною чотириповерхової дроби у нас залишилися:
- Lim 2/3 = 2/3.
відповідь:
- Lim [(2хsup2- - 3х - 5) / (1 + х + 3хsup2-)] = 2/3
- х-∞
У цьому прикладі можна було скористатися властивостями меж і перетворити межа приватного до приватного меж, а потім межі суми в чисельнику і знаменнику уявити як суму меж.
Якщо треба знайти межа складної формули, з якої невідомо, що робити, або просто колись, можна скористатися сервісом онлайн.
