Як знайти синус, якщо відомий косинус?
Коли дана задача, в якій відома одна тригонометрическая функція, і потрібно знайти іншу тригонометричну функцію, вирішити її нескладно. Але при цьому дуже важливо врахувати маленькі тонкощі в рішенні. Розглянемо докладні рішення, враховуючи нюанси. Є кілька варіантів завдань, в яких потрібно знайти синус, якщо відомий косинус.
Варіант 1. Дан прямокутний трикутник. Відомо значення косинуса кута цього трикутника (не прямої кута). Насті синус.
Рішення:
Згадаймо основне тригонометричну тотожність: sin2 + cos 2 = 1.
Звідси sin2 = 1 - cos2 .
sin = ± (1 cos2 )
У прямокутному трикутнику значення кута (не прямої) може лежати в межах від 10 до 890. Синус такого кута завжди позитивний, отже, перед коренем у нас буде плюс.
Варіант 2. Відомо значення косинуса деякого кута. Також відомо, до якої чверті тригонометричного кола належить кут.
Рішення:
sin2 + cos 2 = 1.
sin2 = 1 - cos2 .
sin = ± (1 cos2 )
Відомо, що тригонометрическая функція синус може приймати значення від -1 до +1. Тому, витягуючи корінь, ми повинні це врахувати. Залежно від того, до якої чверті належить кут, ставимо знак перед коренем «+» або «-».
Які бувають чверті:
- I (перша) - від 00 до 900;
- II (друга) - від 900 до 1800;
- III (третя) - від 1800 до 2700;
- IV (четверта) - від 2700 до 3600.
Якщо кут належить I або II чверті, то перед знаком кореня «-» не ставимо, так як в цьому випадку sin завжди позитивний.
Якщо кут належить III або IV чверті, то перед знаком кореня ставимо «-», так як в цьому випадку sin завжди негативний.
Приклад. Дан косинус, знайти синус. cos = v3 / 2. Кут в четвертій чверті.
Рішення:
Отже, як знайти синус, знаючи косинус:
sin = ± v (1 cos2 )
Так як за умовою завдання кут належить четвертої чверті тригонометричного кола, перед коренем ставимо знак «-».
sin = - v (1-3 / 4)
sin = - 1/2.
Приклад. У прямокутному трикутнику косинус одного кута дорівнює 1/2. Знайдіть синус цього кута.
Рішення: sin2 + cos 2 = 1.
sin2 = 1 - cos2 .
Так як ми шукаємо кут прямокутного трикутника, перед коренем знак «+».
sin = v (1 cos2 )
sin = v (1-1 / 4)
sin = v3 / 2.
