Як знайти діагональ трапеції?
Перш, ніж розбиратися, як знайти діагональ трапеції, згадаємо, що таке трапеція. У планіметрії трапецією називають чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні один одному. Ці паралельні боку називають підставами трапеції, а решта - бічними сторонами. Бічні сторони можуть бути однаковими, тоді ми маємо справу з рівнобедреної трапецією.
Далі детально розберемо порядок знаходження довжини діагоналей для загального випадку - неравнобедренной трапеції. При цьому будемо виходити з того, що вихідними даними є довжини всіх чотирьох сторін трапеції, кути біля основи невідомі.
Розрахунок діагоналі трапеції
У зображеній на малюнку трапеції ABCD є дві діагоналі AC і BD. Порядок перебування їх довжини однаковий, тому розглянемо все на прикладі знаходження діагоналі BD, противолежащей BAD.
Діагональ BD одночасно є стороною трикутника ABD і може бути розрахована по теоремі косинусів за допомогою формули:
BD = (AB2+AD2-2AB.AD.cos BAD)
У цій формулі нам відомі всі величини, крім косинуса BAD. Щоб обчислити його, нам необхідно буде виконати невелике перетворення малюнка. «Виріжемо» з вихідної трапеції прямокутник BNMC. В результаті отримаємо трикутник ABD `, в якому сторона BD` буде дорівнює стороні трапеції CD.
BAD `в трикутнику дорівнює BAD в трапеції, так як ніяких перетворень з трикутником ABN ми не виконували. Отже, в цьому трикутнику ABD `сторона AB нам відома, сторона BD` = CD, а сторона AD `= AD - NM = AD - BC.
Виходить, що за теоремою косинусів cos BAD = cos BAD `= (AB2 + AD `2 - BD `2) / 2AB.AD `= (AB2 +(AD - BC)2 - CD2) / 2AB.(AD - BC)
Підставивши тепер отриманий вираз в знайдену раніше формулу, отримаємо:
BD = (AB2+AD2-2AB.AD.cos BAD) = (AB2+AD2-2AB.AD.(AB2 +(AD - BC)2 - CD2) / 2AB.(AD - BC)) = (AB2 + AD2 - AD.(AB2 +(AD - BC)2 - CD2) / (AD - BC)) = (AB2 + AD2 - AD.(AD - BC)2/ (AD - BC) - AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC)) = (AB2 + AD2 - AD2 + AD.BC - AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC)) = (AB2 + AD.BC - AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC))
BD = (AB2 + AD.BC - AD.(AB2 - CD2) / (AD - BC))
Отримана формула діагоналі трапеції справедлива для будь-яких значень довжин сторін вихідного чотирикутника.
Для другої діагоналі формула відповідно набуде вигляду:
AC = (CD2 + AD.BC - AD.(CD2 - AB2) / (AD - BC))
Діагональ рівнобедреної трапеції
Якщо вас цікавить, як знайти діагональ рівнобедреної трапеції, отриману формулу можна значно спростити. Адже в рівнобедреної трапеції AB = CD, отже AB2 - CD2 = 0 і формула довжини діагоналі приводиться до вигляду:
BD = (AB2 + AD.BC)
Діагоналі рівнобедреної трапеції дорівнюють один одному, тому друга діагональ знаходиться за тією ж формулою.
У тому випадку, якщо вихідними даними є довжини підстав трапеції, одна з бічних сторін і кути при підставі, то завдання знаходження діагоналі трапеції зводиться до розрахунку сторони трикутника по теоремі косинусів.
