Як знайти площу поверхні піраміди?
Яку фігуру ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов`язково мають форму трикутників, сходяться в одній загальній вершині. Ось тепер, розібравшись з терміном, з`ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.
Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться з суми площ підстави і всієї його бічної поверхні.
Обчислення площі підстави піраміди
Вибір розрахункової формули залежить від форми лежить в основі нашої піраміди багатокутника. Він може бути правильним, тобто із сторонами однакової довжини, або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.
У підставі - правильний багатокутник
Зі шкільного курсу відомо:
- площа квадрата дорівнюватиме довжині його боку, яка була зведена в квадрат;
- площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеній на 4 і помноженому на квадратний корінь з трьох.
Але існує і загальна формула, для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn = 1 / 2P * r .
У підставі - неправильний багатокутник
Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них по формулі: 1 / 2a * h (де а - підстава трикутника, h - опущена на це підстава висота), скласти все результати.
Площа бічної поверхні піраміди
Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто суму площ всіх її бічних сторін. Тут також можливі 2 варіанти.
- Нехай у нас є довільна піраміда, тобто така, в основі якої - неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площа кожної грані і скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1 / 2a * h.
- Нехай наша піраміда - правильна, тобто в її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється в його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) досить знайти половину твору периметра багатокутника-підстави (Р) на висоту (h) збоку (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається складанням довжин всіх його сторін.
Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її заснування з площею всієї бічної поверхні.
приклади
Для прикладу обчислимо алгебраїчно площі поверхні декількох пірамід.
Площа поверхні трикутної піраміди
У підставі такої піраміди - трикутник. За формулою Sо = 1 / 2a * h знаходимо площа підстави. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.
Площа поверхні чотирикутної піраміди
Площа бічної поверхні - це сума 4-ох доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площа підстави доведеться шукати, в залежності від форми чотирикутника - правильного або неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі підстави і повної площі поверхні заданої піраміди.
