Що таке рівняння?

Тим, хто робить перші кроки в алгебрі, звичайно, потрібно максимально впорядкована подача матеріалу. Тому в нашій статті про те, що таке рівняння, ми не тільки дамо визначення, але і наведемо різні класифікації рівнянь з прикладами.

Що таке рівняння: загальні поняття

Отже, рівняння - це вид рівності з невідомим, що позначається латинською літерою. При цьому числове значення даної літери, що дозволяє отримати вірне рівність, називається коренем уравненія.Более докладно про це ви можете прочитати в нашій статті Що таке корінь рівняння, ми ж продовжимо розмову про самих рівняннях. Аргументами рівняння (або змінними) називаються невідомі, а рішенням рівняння називається знаходження всіх його коренів або відсутності коренів.

види рівнянь

Рівняння поділяються на дві великі групи: алгебраїчні і трансцендентні.

Алгебраїчним називається таке рівняння, в якому для знаходження кореня рівняння використовуються тільки алгебраїчні дії - 4 арифметичних, а також зведення в ступінь і витяг натурального кореня.
Трансцендентним називається рівняння, в якому для знаходження кореня використовуються неалгебраїчні функції: наприклад, тригонометричні, логарифмічні і інші.

Серед алгебраїчних рівнянь виділяють також:

цілі - з обома частинами, що складаються з цілих алгебраїчних виразів по відношенню до невідомих;
дробові - містять цілі алгебраїчні вирази в чисельнику і знаменнику;
ірраціональні - алгебраїчні вирази тут знаходяться під знаком кореня.

Зауважимо також, що дробові і ірраціональні рівняння можна звести до вирішення цілих рівнянь.

Трансцендентні рівняння поділяються на:

показові - це такі рівняння, які містять змінну в показнику ступеня. Вони вирішуються шляхом переходу до єдиної основи або показником ступеня, винесенням загального множника за дужку, розкладанням на множники і деякими іншими способами;
логарифмічні - рівняння з логарифмами, тобто такі рівняння, де невідомі знаходяться всередині самих логарифмів. Вирішувати такі рівняння вельми непросто (на відміну від, скажімо, більшості алгебраїчних), оскільки для цього потрібно солідна математична підготовка. Найважливіше тут - перейти від рівняння з логарифмами до рівняння без них, тобто спростити рівняння (такий спосіб видалення логарифмів називається потенціюванням). Зрозуміло, потенціювати логарифмічна рівняння можна тільки в тому випадку, якщо вони мають тотожні числові підстави і не мають коефіцієнтів;
тригонометричні - це рівняння з змінних під знаками тригонометричних функцій. Їх рішення вимагає початкового освоєння тригонометричних функцій;
змішані - це диференційовані рівняння з частинами, що належать до різних типів (наприклад, з параболічної і еліптичної частинами або еліптичної і гіперболічної і т.д.).

Що стосується класифікації по числу невідомих, то тут все просто: розрізняють рівняння з одним, двома, трьома і так далі невідомими. Існує також і ще одна класифікація, яка грунтується на ступеня, яка є в лівій частині многочлена. Виходячи з цього розрізняють лінійні, квадратні і кубічні рівняння. Лінійні рівняння також можуть називатися рівняннями 1-го ступеня, квадратні - 2-й, а кубічні, відповідно, 3-й. Ну а тепер наведемо приклади рівнянь тієї чи іншої групи.

Приклади різних типів рівнянь

Приклади алгебраїчних рівнянь:

ax + b = 0
ax³+ bx²+ cx + d = 0
ax⁴+ bx³+ cx²+ bx + a = 0
(A не дорівнює 0)

Приклади трансцендентних рівнянь:

cos x = x lg x = x-5 2^x= Lgx + x⁵+40

Приклади цілих рівнянь:

(2 + x) 2 = (2 + x) (55x-4) (x2-12x + 10) 4 = (3x + 10) 4 (4x2 + 3x-10) 2 = 9x4

Приклад дрібних рівнянь:

15 x + - = 5x - 17 x

Приклад ірраціональних рівнянь:

radic-2kf (x) = g (x)

Приклади лінійних рівнянь:

2х + 7 = 0 х - 3 = 2 - 4х 2х + 3 = 5х + 5 - 3х - 2

Приклади квадратних рівнянь:

x²+5x-7 = 0 3x²+5x-7 = 0 11x²-7x + 3 = 0

Приклади кубічних рівнянь:

x³-9x²-46x + 120 = 0 x³- 4x²+ x + 6 = 0

Приклади показових рівнянь:

5^{х + 2}= 125 3^хmiddot-2^х= 8^{х + 3} 3^2х+4middot-3^х-5 = 0

Приклади логарифмічних рівнянь:

log₂x = 3 log₃x = -1

Приклади тригонометричних рівнянь:

3sin²x + 4sin x cosx + cos²x = 2 sin (5x + pi- / 4) = ctg (2x-pi- / 3) sinx + cos²x + tg³x = ctg⁴x

Приклади змішаних рівнянь:

log_х(log₉(4sdot-3^х-3)) = 1 | 5x-8 | + | 2sdot-5x + 3 | = 13

Залишилося додати, що для вирішення рівнянь різних типів застосовуються найрізноманітніші методи. Ну а щоб вирішувати практично будь-які рівняння, будуть потрібні знання не тільки алгебри, але також і тригонометрії, причому нерідко знання вельми глибокі.