Як вирішувати тригонометричні рівняння?

Не секрет, що успіх або невдача в процесі вирішення практично будь-якої задачі, в основному залежить від правильності визначення типу заданого рівняння, а також від правильності відтворення послідовності всіх етапів його рішення. Однак у випадку з тригонометричними рівняннями, визначити факт того, що рівняння саме тригонометрическое, зовсім нескладно. А ось в процесі визначення послідовності дій, які повинні привести нас до правильної відповіді, можна зіткнутися з певними складнощами. Давайте розберемося, як вирішувати тригонометричні рівняння правильно з самого початку.

Рішення тригонометричних рівнянь

Для того, щоб вирішити тригонометричне рівняння, потрібно спробувати виконати наступні моменти:

Наводимо всі функції, які входять в наше рівняння до «однаковим кутах»;
Потрібно довести задане рівняння до «однакових функцій»;
Розкладаємо ліву частину заданого рівняння на множники або інші необхідні компоненти.

методи

Метод 1. Вирішувати такі рівняння необхідно в два етапи. Перший-перетворюємо рівняння для того, щоб отримати його найпростіший (спрощена) вид. Рівняння: Cosx = a, Sinx = a і подібні, називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Другий етап вирішуємо отримане просте рівняння. Слід зазначити, що найпростіше рівняння можна вирішити алгебраїчним методом, який добре відомий нам зі шкільного курсу алгебри. Його також називають методом заміни підстановки і змінної. За допомогою формул приведення, спочатку потрібно перетворити, потім зробити заміну і після цього знайти коріння.

Далі потрібно розкласти наше рівняння на можливі множники, для цього необхідно перенести всі члени вліво і потім можна розкладати на множники. Тепер потрібно привести дане рівняння до однорідного, в якому всі члени дорівнюють одній ступеня, а косинус і синус мають один і той же кут.

Перед тим, як вирішувати тригонометричні рівняння, потрібно перенести його члени в ліву частину, забравши з правої, а потім виносимо все загальні знаменники за дужки. Прирівнюємо наші дужки і множники до нуля. Наші прирівняні дужки є однорідне рівняння зі зменшеною ступенем, яке потрібно розділити на sin (cos) в старшій ступеня. Тепер вирішуємо рівняння алгебри, яке було отримано, в співвідношенні до tan.

Метод 2. Ще одним методом, за допомогою якого, можна вирішити тригонометричне рівняння є перехід до половинному куті. Наприклад, вирішуємо рівняння: 3sinx-5cosx = 7.

Нам потрібно перейти до половинному куті, в нашому випадку це: 6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos (x / 2) + 5sin (x / 2) = 7sin (x / 2) + 7cos (x /2).А після цього, зводимо всі члени в одну частину (для зручності краще вибрати праву) і приступаємо до вирішення рівняння.

При необхідності можна вводити допоміжний кут. Це робиться в разі, коли потрібно замінити ціле значення sin (a) або cos (a) і знак «a» якраз і виступає допоміжним кутом.

Твір в суму

Як вирішувати тригонометричні рівняння, використовуючи твір в суму? Метод відомий як перетворення твори в суму також може бути використаний в рішенні таких рівнянь. У цьому випадку необхідно використовувати відповідні рівняння формули.

Наприклад, у нас є рівняння: 2sinx * sin3x = сos4x

Нам потрібно вирішити цю задачу шляхом перетворення лівої частини в суму, а саме:

сos 4x -cos8x = cos4x,

cos8x = 0,

8x = p / 2 + pk,

х = p / 16 + pk / 8.

Якщо вищенаведені методи не підходять, і Ви все ще не знаєте, як вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння, можна скористатися ще одним методом - універсальна підстановка. З його допомогою можна перетворити вираз і провести заміну. Наприклад: Cos (x / 2) = u. Тепер можна вирішувати рівняння з наявними параметром u. А отримавши потрібний результат, не забуваємо перевести це значення в зворотне.

Багато «досвідчені» учні радять звернутися за рішенням рівнянь до людей в онлайн-режимі. Як вирішити тригонометричне рівняння онлайн, запитаєте Ви. Для онлайн рішення задачі, Ви можете звернутися на форуми відповідної тематики, де Вам можуть допомогти порадою або ж у вирішенні завдання. Але найкраще, все ж спробувати обійтися власними силами.

Навички та вміння у вирішенні тригонометричних рівнянь є дуже важливими і корисними. Їх розвиток зажадає від Вас чималих зусиль. З рішенням таких рівнянь пов`язані багато завдань фізики, стереометрії і т.д. А сам процес вирішення подібних завдань передбачає собою наявність умінь і знань, які можна придбати під час вивчення елементів тригонометрії.

Вчимо тригонометричні формули

У процесі рішення рівняння Ви можете зіткнутися з потребою використання будь-якої формули з тригонометрії. Можна, звичайно, почати шукати її в своїх підручниках і шпаргалки. А якщо ці формули відкладені у Вас в голові, ви не тільки заощадите свої нерви, а й значно полегшите собі задачу, не витрачаючи часу на пошук потрібної інформації. Таким чином, у Вас буде можливість для продумування найбільш раціонального шляху вирішення поставленого завдання.