Як знайти середню лінію трапеції?
Відрізок прямої, що з`єднує середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. Про те, як знайти середню лінію трапеції і як вона співвідноситься з іншими елементами цієї фігури, ми розповімо нижче.
Теорема про середній лінії
Намалюємо трапецію, в якій AD - більше підставу, BC - менше підставу, EF - середня лінія. Продовжимо підставу AD за точку D. Проведемо лінію BF і продовжимо її до перетину з продовженням підстави AD в точці О. Розглянемо трикутники BCF і DFO. Кути BCF = DFO як вертикальні. CF = DF, BCF = FDО, тому що ВС // АТ. Отже, трикутники BCF = DFO. Звідси боку BF = FO.
Тепер розглянемо АВО і EBF. ABO загальний для обох трикутників. BE / AB = frac12- за умовою, BF / BO = frac12-, оскільки BCF = DFO. Отже, трикутники ABO і EFB подібні. Звідси ставлення сторін EF / AO = frac12-, як і ставлення інших сторін.
Знаходимо EF = frac12- AO. За кресленням видно, що AO = AD + DO. DO = BC як сторони рівних трикутників, значить, AO = AD + BC. Звідси EF = frac12- АТ = frac12- (AD + BC). Тобто довжина середньої лінії трапеції дорівнює полусумме підстав.
Чи завжди середня лінія трапеції дорівнює полусумме підстав?
Припустимо, що існує такий окремий випадок, коли EF ne- frac12- (AD + BC). тоді ВС ne- DO, отже, BCF ne- DCF. Але це неможливо, оскільки у них рівні два кута і сторони між ними. Отже, теорема вірна при всіх умовах.
Завдання про середньої лінії
Припустимо, в нашій трапеції АВСD АD // ВС, A = 90 °, С = 135 °, АВ = 2 см, діагональ АС перпендикулярна боці. Знайдіть середню лінію трапеції EF.
Якщо А = 90 °, то і В = 90 °, значить, АВС прямокутний.
BCA = BCD - ACD. ACD = 90 ° за умовою, отже, BCA = BCD - ACD = 135 ° - 90 ° = 45 °.
Якщо в прямокутному трикутнику АВС один кут дорівнює 45 °, значить, катети в ньому рівні: АВ = ВС = 2 см.
Гіпотенуза АС = radic- (АВsup2- + ВСsup2-) = radic-8 см.
Розглянемо ACD. ACD = 90 ° за умовою. CAD = BCA = 45 ° як кути, утворені січною паралельних підстав трапеції. Отже, катети AC = CD = radic-8.
Гіпотенуза AD = radic- (ACsup2- + CDsup2-) = radic- (8 + 8) = radic-16 = 4 см.
Середня лінія трапеції EF = frac12- (AD + BC) = frac12- (2 + 4) = 3 см.
