Як вирішувати логарифмічні рівняння?

Всі знають, навіщо потрібна математика. Однак багатьом людям потрібна допомога у вирішенні математичних задач і рівнянь. Перш ніж розповісти, як вирішувати логарифмічні рівняння, потрібно зрозуміти, що вони з себе представляють. Рівняння, які містять в собі невідому в підставі логарифма або під його знаком, називаються логарифмічними рівняннями. Рівняння, які мають вигляд: logaX = b, або ті, які можна звести до такого виду, прийнято вважати найпростішими логарифмічними рівняннями.

Правильне рішення

Для правильного вирішення таких рівнянь, необхідно пам`ятати про властивості будь-логарифмічною функції:

безліч дійсних чисел (область значення)
безліч позитивних чисел (область визначення)
в разі, коли "а" більше 1, відбувається суворе зростання логарифмічною функції, якщо менше - спадання
при заданих параметрах: loga "a" дорівнює 1, а також loga 1 дорівнює нулю, потрібно враховувати що «а» не дорівнюватиме 1, і буде більше 0.

Правильне рішення логарифмічних рівнянь безпосередньо залежить від розуміння самого логарифма. Візьмемо приклад: 5х = 11. Х є числом, в яке необхідно звести 5, щоб вийшло 11. Це число називається логарифмом 11 по підставі 5 і записується це в наступному вигляді: х = log511. Таким чином, нам вдалося вирішити показове рівняння: 5х = 11, отримавши відповідь: х = log511.

логарифмічні рівняння

Рівняння, яке має логарифми, називається логарифмічним рівнянням. У цьому рівнянні невідомі змінні, а також вирази з ними, розташовані всередині самих логарифмів. І ніде більше! Приклади логарифмічних рівнянь: log2x = 16, log5 (x3-7) = log5 (3x), lg3 (x + 3) + 20 = 15lg (x + 5) і т.д. Не забувайте, що різні вирази з х-ми можуть перебувати тільки усередині заданого лагоріфма.

Позбавляємося від логарифмів

Методи вирішення логарифмічних рівнянь застосовуються відповідно до наявної завданням, а сам процес вирішення в цілому, є досить непростим заняттям. Давайте почнемо з елементарних рівнянь. Найпростіші логарифмічні рівняння мають такий вигляд:

logx-21 = 11
log5 (70x-1) = 2
log5x = 25

Рішення логарифмічного рівняння передбачає собою перехід від рівняння з логарифмами, до рівняння в яких їх немає. І в найпростіших рівняннях це можна зробити за один крок. Саме з цієї причини їх і називають найпростішими. Наприклад, нам потрібно вирішити наступне рівняння: log5x = log52. Для цього нам не потрібні особливі знання. В даному прикладі нам потрібно позбутися від логарифмів, які й псують нам всю картину. Прибираємо логарифми і отримуємо: х = 2. Таким чином, і в подальшому необхідно прибирати непотрібні логарифми, якщо це можливо. Адже саме така послідовність і дозволяє вирішувати логарифмічні нерівності і рівняння. У математиці такі дії прийнято називати потенцированием. Але таке позбавлення від логарифмів має свої правила. Якщо логарифми не мають ніяких коефіцієнтів (тобто задані самі по собі), а також при їх однаковій числовому підставі - логарифми можна прибирати.

Пам`ятайте, після того, як ми ліквідували логарифми, у нас залишається спрощене рівняння. Давайте вирішимо ще один приклад:

log9 (5x-4) -log9x. Потенціюючи і у нас виходить:

5х-4 = х
5х = х + 4
4х = 4
х = 1

Як бачимо, видаливши логарифми, ми отримали звичайне рівняння, вирішити яке вже не складає особливих труднощів. Тепер можна перейти до більш складним прикладів: log9 (60x-1) = 2. Нам потрібно звернутися до логарифму (число, в яке зводиться підстава, в нашому випадку 9) для отримання подлогаріфменного вираження (60х-1). Наш логарифм дорівнює 2. Отже: 92 = 60х-1. Логарифма більше немає. Вирішуємо отримане рівняння: 60х-1 = 59, х = 1.

Цей приклад ми вирішили відповідно змістом логарифма. Слід зазначити, що з будь-якого заданого числа можна зробити логарифм, причому необхідного виду. Такий метод є дуже корисним у вирішенні нерівностей і логарифмічних рівнянь. Якщо ж в рівнянні потрібно знайти корінь, давайте розберемо, як це можна зробити: log5 (18 - x) = log55

Якщо в нашому рівнянні у обох сторін рівняння є логарифми, що мають однакову основу, то можна прирівняти вирази, які стоять під знаками наших логарифмів. Прибираємо загальну основу: log5. Отримуємо просте рівняння: 18 х = 5, х = 13.

Насправді, вирішувати логарифмічні рівняння не так вже й складно. Навіть з огляду на той факт, що властивості логарифмічних рівнянь можуть істотно відрізнятися, все одно - нерозв`язних завдань не буває. Необхідно знати властивості самого логарифма, а також вміти їх правильно застосовувати. Не потрібно поспішати: згадуємо вищенаведені інструкції і приступаємо до вирішення поставлених завдань. Ні в якому разі не потрібно лякатися складного рівняння, Ви володієте всіма необхідними знаннями та ресурсами для того, щоб без праці впоратися з будь-яким з них.